Resúmenes

MINICURSOS

 

GABRIELA HINOJOSA

 Título: Superficies anudadas: Nociones
 
Resumen: En este curso se presentarán los conceptos básicos de superficies anudadas y algunos de los principales teoremas.

 

MAX NEUMANN COTO

 Titulo: Curvas en superficies

Resumen: Así como los nudos son curvas encajadas en la 3-esfera y pensamos que dos son equivalentes si podemos deformar una a la otra continuamente, también podemos pensar en las curvas en una superficie y en las clases de equivalencia formadas aquellas que pueden deformarse una a otra. Esto es más interesante si permitimos que las curvas tengan intersecciones.

Uno puede preguntarse por ejemplo ¿Como pueden codificarse algebraicamente las curvas? ¿Que invariantes se pueden definir? ¿Cual es el mínimo número de cruces, y cuales son las curvas mas cortas en cada clase? ¿que operaciones pueden usarse para pasar de unas curvas a otras?¿Cual es el “numero de descruzamiento” de una curva?

Platicaremos de las facetas geométricas, topológicas y algebraicas de las curvas en superficies y esbozaremos algunos resultados y problemas abiertos.

 

PLÁTICAS

 

 DANIELA CORTÉS

 Título: Estructuras de Weinstein

 

REsumen: Kirby calculus ha sido, durante los últimos 50 años, una herramienta clave para entender las variedades suaves de cuatro dimensiones. Básicamente, nos permite desarmar una variedad en piezas llamadas asas sin perder la información sobre su estructura suave. La idea es hacer algo parecido, pero en el mundo simpléctico. Para eso usamos lo que se llama una estructura de Weinstein: una manera de descomponer una variedad simpléctica en asas, asegurándonos de que tanto las piezas como la forma en que se unen respeten la geometría simpléctica. Hoy en día, las estructuras de Weinstein son un tema central en la investigación en topología simpléctica. De hecho, toda variedad simpléctica cerrada de cuatro dimensiones contiene una superficie simpléctica cuyo complemento admite una estructura de Weinstein. 

 

 

JUAN PABLO DIAZ

Título: Estructuras hiperbólicas en complementos de nudos y enlaces

Resumen: En esta plática hablaremos de estructuras geométricas en complementos de nudos y enlaces en la 3-esfera. Presentaremos ejemplos clásicos como el nudo de ocho, el enlace de Whitehead y los anillos borromeanos, cuyos complementos son 3-variedades no compactas que admiten métricas hiperbólicas completas de volumen finito. A partir de estos casos, revisaremos técnicas recientes para la construcción de estructuras hiperbólicas, apoyadas en la teoría de 3-variedades, las descomposiciones en tetraedros ideales, el estudio de subsuperficies y la teoría de representaciones. El objetivo es mostrar cómo la geometría hiperbólica enriquece el análisis de nudos y enlaces en el marco de la geometrización de Thurston.
 

MARIO EUDAVE MUÑOZ

Título: El número de desanudamiento de un nudo

Resumen: Sea K un nudo en el espacio tridimensional o en la 3-esfera. Dado un diagrama de K con n cruces, no es difícil ver que es posible cambiar cruces, de hecho a lo más n/2 cruces, de modo que se obtenga el nudo trivial, o sea el nudo que tiene una proyección sin cruces. El mínimo número de cambios de cruces, tomado de entre todos los diagramas de K, que convierten a K en el nudo trivial, es el llamado número de desanudamiento de K, denotado u(K). Este es un invariante fácil de definir pero difícil de calcular. Dados dos nudos K1 y K2, la suma conexa K1#K2 es un nuevo nudo obtenido al quitarle un pedacito a K1 y otro a K2 y luego pegando los extremos de los arcos resultantes. Es fácil ver que u(K1#K2) ≤ u(K1)+u(K2). Se tiene la siguiente conjetura:

Conjetura: Para cualesquiera nudos K1 y K2, u(K1#K2) = u(K1) + u(K2)

Esta conjetura fue propuesta desde hace décadas y no se había podido resolver. Recientemente, Mark Brittenham y Susan Hermiller encontraron contraejemplos a esta conjetura, o sea encontraron parejas de nudos K1 y K2 tales que u(K1#K2) < u(K1) + u(K2). El ejemplo más sencillo se obtiene al tomar K1 = nudo toroidal (2,7) y K2 = imagen especular de K1, en este caso se tiene que u(K1) = u(K2) = 3, pero sin embargo u(K1#K2) ≤ 5 < 6 = u(K1) + u(K2). De hecho, el nudo K1#K2 es el nudo que aparece en la imagen del póster de esta escuela.

En esta plática presentaremos los ejemplos de Brittenham y Hermiller así como otras conjeturas que aún permanecen abiertas sobre el número de desanudamiento.

 

ARACELI GUZMAN TRISTAN

Título: Contando toros de dos agujeros
 
Resumen: Al realizar cirugía en un nudo, obtenemos una 3 variedad cerrada y una forma de entender la estructura de dicha variedad es, mediante su descomposición JSJ. Un primer paso en esta descomposición es conocer cuántas piezas tiene, lo cual viene dado por la cantidad de  toros incompresibles, separantes y no paralelos que posee. Este problema se traduce en encontrar toros agujerados antes de hacer la cirugía. En esta plática, veremos una cota sobre el número de toros de dos agujeros que puede haber en el exterior de un nudo hiperbólico. Este es un trabajo en proceso en colaboración con Grissel Santiago y Luis Valdez.
 

 

RITA JIMÉNEZ ROLLAND 

Título: Superficies, 3-variedades y sus grupos de simetrías
 
Resumen: En esta charla hablaremos de superficies topológicas y de ciertas 3-variedades que aparecen como espacios totales de haces de círculos sobre superficies.   Veremos cómo las propiedades topológicas y las simetrías de estas 3-variedades están estrechamente relacionadas con las propiedades y las simetrías de la superficie base.
 
 

PORFIRIO LEON ALVAREZ

Título: Grupos balanceados
 
Resumen: Sea G un grupo. Diremos que G es balanceado si, dado cualquier elemento de orden infinito h en G y cualesquiera enteros m,n distintos de cero, el hecho de que las potencias $h^m$ y $h^n$ sean conjugadas en G implica necesariamente que el valor absoluto de m es igual al valor absoluto de n.

Ejemplos de grupos balanceados incluyen los grupos abelianos, los grupos libres y, más generalmente, los grupos hiperbólicos.

En esta plática discutiremos algunas aplicaciones de la propiedad de ser balanceado y bosquejaremos una demostración para grupos fundamentales de 3-variedades basada en teoría de Bass–Serre, reduciendo el problema a las piezas de la descomposición de JSJ (hiperbólicas o Seifert fibradas). El trabajo que presentaremos es en colaboración con Jesús Hernández Hernández.
 

YESENIA VILLICAÑA

Título: Mapping tori: de superficies y homeomorfismos a 3-variedades
 
Resumen: Dada una superficie $S$ y un homeomorfismo $f\colon S\to S$, consideramos el producto $S\times[0,1]$ e identificamos los puntos $(x,1)\sim(f(x),0)$. El espacio cociente $$M_f \;=\;S\times[0,1]\big/\big((x,0)\sim(f(x),1)\big)$$ es una $3$-variedad, llamada \emph{mapping torus} de $(S,f)$. En esta plática presentaré un ``zoológico'' de estas 3-variedades: desde casos clásicos y bien comportados hasta ejemplos más ``exóticos''. Cerraré con una breve mirada hacia su geometría.